已知函数f（x）=(logax)2-logax-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
（Ⅱ）求解关于x的不等式f（

1+x
1-x
）＞0；
（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

答案

（Ⅰ）当a=2时，f（2）=(log22)2-log22-2=1-1-2=-2 …．（2分）
（Ⅱ）令t=

1+x
1-x
，t∈（0，+∞）
f（
1+x
1-x
）＞0等价于（logat-2）（logat+1）＞0
∴logat＞2或logat＜-1，
当a＞1时，t＞a2或t＜
1
a

∴
1+x
1-x
＞a2或
1+x
1-x
＜
1
a

∴
a2-1
a2+1
＜x＜1或-1＜x＜
1-a
1+a
；
当0＜a＜1时，t＜a2或t＞
1
a

∴
1+x
1-x
＜a2或
1+x
1-x
＞
1
a

∴-1＜x＜
a2-1
a2+1
或
1-a
1+a
＜x＜1…．（7分）
（Ⅲ）令logax=v，y=f（v）=v2-v-2，对称轴为v=
1
2
．
当a＞1时，v∈[loga2，loga4]
①当1＜a≤4，即
1
2
≤loga2时，f（v）在[loga2，loga4]上单调递增，
∴fmin（v）=f（loga2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴loga2=3或loga2=-2（不合题意）
∴a=
3 2

解析

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