已知函数f(logax)=aa2-1(x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(logax)=

a
a2-1
(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

答案

（1）令logax=t，∴x=at，代入得f（t）=

a
a2-1
（at-a-t）
即f（x）=
a
a2-1
（ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，
a
a2-1
＞0，f（x）在R上是增函数，x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=
a
a2-1
（ax1-a-x1）-
a
a2-1
( ax2-a-x2)
a
a2-1
[(ax1-ax2)+(
1
ax2
-
1
ax1
)]
=
a
a2-1
(ax1-ax2)(1+
1
ax1ax2
)＜0
∴f(x1)＜f(x2)

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=
a
a2-1
（a2-a-2），
∴f（2）-4=
a
a2-1
（a2-a-2）-4≤0，
整理得
a2-4a+1
a
≤0且a＞0且a≠1．
∴a2-4a+1≤0，解得2-

解析

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