题目

函数lnx≤xem2-m-1对任意的正实数x恒成立，则m的取值范围是（　　）

A．（-∞，0]∪[1，+∞）

B．[0，1]

C．[e，2e]

D．（-∞，e）∪[2e，+∞）

答案

lnx≤xem2-m-1可化为

lnx

x

≤em2-m-1，
则问题等价于(

lnx

x

)max≤em2-m-1，
令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），则f"（x）=

1-lnx

x2

，
当0＜x＜e时，f"（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f"（x）＜0，f（x）单调递减；
故x=e时，f（x）取得极大值，也为最大值，f（e）=

1

e

，
∴

1

e

≤em2-m-1，则-1≤m²-m-1，解得m≤0或m≥1，
∴实数m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故选：A．

解析