设函数f(x)=log2(1+x1-ax)

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f(x)=log2(

1+x
1-ax
)（a∈R），若f(-
1
3
)=-1．
（1）求f（x）解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3x）的值域；
（3）g(x)=log

答案

（1）由于f(-
1
3
)=log2
1-
1
3
1+
a
3
=-1，∴
2
3
1+
a
3
=
1
2
，即
4
3
=1+
a
3
，解得a=1，
∴f(x)=log2
1+x
1-x
．
再由
1+x
1-x
＞0，求得-1＜x＜1
，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．
再根据f(-x)=log2
1-x
1+x
=log2(
1+x
1-x
)-1=-log2
1+x
1-x
=-f（x）
∴f（x）为奇函数．-----（3分）
（2）f（x）=log2(-1-
2
x-1
)，∴f(3x)=log2(-1-
2
3x-1
)．
∵-1≤x＜0，∴-
2
3
≤3x-1＜0，∴
2
3x-1
≤-3，即-
2
3x-1
≥3，
∴-1-
2
3x-1
≥2，∴log2(-1-
2
3x-1
)≥log22=1，
∴值域为[1，+∞）．-----（7分）
（3）∵log2
1+x
1-x
≤log

解析

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