已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0都有

f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）解不等式f(x-
1
2
)+f(x-
1
4
)＜0；
（3）若不等式f（x）+（2a-1）t-2≤0对所有x∈[-1，1]和a∈[-1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（1）设任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），
∵对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0都有

f(a)+f(b)
a+b
＞0，
∴
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
＞0，又x1＜x2，则x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
(x1-x2)＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在定义域[-1，1]上位增函数；
（2）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=f（x），又不等式f(x-
1
2
)+f(x-
1
4
)＜0，即f（x-
1
2
）＜-f（x-
1
4
），
∴f(x-
1
2
)＜-f(x-
1
4
)=f(
1
4
-x)，
由（1）可知，f（x）在定义域[-1，1]上位增函数，
∴

解析

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