题目

已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0，

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），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立时，实数a的取值范围是______．

答案

∵f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，
∴令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）-f（0）=2，
∵f（1）=0，
∴f（0）=-2；
令y=0得f（x）+2=（x+1）x，
∴f（x）=x²+x-2．
当x∈（0，

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），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立时，
即x²+x＜log_ax恒成立，
设g（x）=x²+x，在（0，

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）上是增函数，
∴0＜g（x）＜

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，
∴要使x²+x＜log_ax恒成立，
则log_ax≥

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在x∈（0，

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）恒成立，
若a＞1时，不成立．
若0＜a＜1，则有log_a

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=

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时，a=

3 4 解析 相关题目 已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y 已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区 已知函数f（x）=sinπx(x2+1)(x 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函 设函数f（x）=loga丨x+b丨在定义域内具 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）f 如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2 函数f（x）=2x-2-x（x∈R）．（1）证明 若命题：“任意x∈R，不等式ax2-x+1＞0恒 对∀a、b∈R，运算“⊕ 闽ICP备2021017268号-8