题目

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性．

答案

（1）由奇函数的性质f（x）+f（-x）=0，得a-

2

2x+1

+a-

2

2-x+1

=0，解得a=1
（2）函数y=2^x单调递增，易判断f（x）在定义域R上单调递增，证明如下：
任取x₁＜x₂∈R，f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=2•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，∵x_1＜x₂∈R
∴0＜zx1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在定义域R上单调递增

解析