题目

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则f（x₁）+f（x₂）＞0；②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则f（x₁）＞f（x₂）；③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的角x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=±8，其中正确的有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案

此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，
综合条件得函数的示意图，由图看出，
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂）；则f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正确；
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正确；
③当m＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x₁+x₂+x₃+x₄=-8．
当m＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x₁+x₂+x₃+x₄=8．故③正确；
故选D．

解析