在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2

难度：一般 题型：解答题 来源：闵行区二模

题目

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．
（1）设bn=

an
2n-1
（n∈N*），证明：数列{bn}是等差数列；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值；
（3）设cn=2bn-1，数列{cn}的前n项和为Tn，dn=
Tn
4
a 2n
-Tn
，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d1+d2+d3+…+dn≥log8（2m+t）成立？请说明理由．

答案

（1）an+1=2an+2n，

an+1
2n
=
an
2n-1
+1，（2分）
bn+1=bn+1，故{bn}为等差数列，b1=1，bn=n．（4分）
（2）由（1）可得an=n2n-1（6分）
Sn=1•20+2•21+3•22+n•2n-1
2Sn=1•21+2•22+3•23+（n-1）•2n-1+n•2n
两式相减，得-Sn=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，即Sn=（n-1）2n+1（8分）
∴
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
=
lim
n→∞
(n-1)2n+1
n•2n+1
=
1
2
（10分）
（3）由（1）可得Tn=n2，（12分）
∴dn=
Tn
4
a 2n
-Tn
=
1
4n-1
，(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=
1
4n+1-1
＞0
∴{d1+d2+d3++dn}单调递增，即d1+d2+d3++dn≥d1=
1
3
，（14分）
要使d1+d2+d3++dn≥log8（2m+t）对任意正整数n成立，
必须且只需
1
3
≥log8(2m+t)，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）
∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即

解析

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