题目

已知函数f(x)=ex+

a

ex

(a∈R)（其中e是自然对数的底数）
（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；
（3）设函数ϕ(x)=

1

2

(x2-3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

ϕ′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并确定这样的x₀的个数．

答案

（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x-e^-x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．
故a=-1适合题意．
（2）a=0时，y=e^x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；
当a≠0时，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x单调递增，故y=|t+

a

t

|在t∈[1，e]时递增．
当a＞0时，函数y=t+

a

t

在t∈[1，e]时单调递增，得

解析 相关题目 已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)（ 已知不等式mx2-mx-1＜0．（1）若对∀x∈ 已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)， 已知函数ƒ（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时， 若mx2+mx+1＞0对任意x∈（0，2）都成立 设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1） 设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（ 对于定义域是R的任意奇函数f（x）有（　 已知函数f（x）=（x-2a）（x-a-1）．（ 已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f 闽ICP备2021017268号-8