已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=x+

a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[
1
2
，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[
1
2
，2]，不等式f（x）≤10在[
1
4
，1]上恒成立，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为f（x）=x+

1
x
+1
根据特殊函数y=+x
1
x
的单调性得：函数在[
1
2
，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（
1
2
）=f（2）=
7
2

所以：f（x）∈[3，
7
2
]，
（Ⅱ）f′(x)=1-
a
x2
．
当a≤0时，显然f"（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f"（x）=0，解得x=±

解析

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