题目

已知定义域为R的函数f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函数
（1）求b的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对∀t∈R，不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

答案

（1）∵定义域为R的函数f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函数
∴f（0）=0
即b=1
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
因为1+2^x随x的增大而增大，
所以f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是减函数．
（3）因为f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是奇函数
∴不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0可化为
f（t-t²）＞f（k-t）
又∵f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是减函数
t-t²＜k-t
即k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，
∴k＞1

解析