已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=

难度：一般 题型：解答题 来源：东莞一模

题目

已知函数f（x）=lnx-

a
x
，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

x+a
x2
，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax-
a
x
-5lnx，g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=a+
a
x2
-
5
x
=
ax2-5x+a
x2
，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax2-5x+a≥0，
∴a（x2+1）≥5x，
即a≥
5x
x2+1
，
∴a≥[
5x
x2+1
]max．
∵
5x
x2+1
=
5
x+
1
x
≤
5
2
，当且仅当x=1时取等号，
所以a≥
5
2
．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-
2
x
-5lnx，g′(x)=
2x2-5x+2
x2
，
由g′（x）=0，得x=
1
2
或x=2．
当x∈(0，
1
2
)时，g′（x）≥0；当x∈(
1
2
，1)时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g(x)max=g(
1
2
 )=-3+5ln2，
而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有

解析

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