题目

已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（

1

ax-1

+

1

2

）
（1）判断ϕ（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）证明：若xf（x）＞0，则ϕ（x）＞0．

答案

（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
又ϕ（x）的定义域为{x∈R|x≠0}2分）
∴ϕ(-x)=(a-1)f(-x)(

1

a-x-1

+

1

2

)=(a-1)f(-x)(

ax

1-ax

+

1

2

)
=(a-1)f(-x)(

1

1-ax

-

1

2

)=(a-1)f(x)(

1

ax-1

+

1

2

)=ϕ(x)
∴ϕ（x）是偶函数．（6分）
（2）若x＞0，则由已知，f（x）＞0，（7分）
①当a＞1时

1

ax-1

+

1

2

＞0，a-1＞0∴ϕ（x）＞0
②当0＜a＜1时

1

ax-1

+

1

2

＜0，a-1＜0，∴ϕ（x）＞0，（10分）
又ϕ（x）是偶函数，
∴x＜0，ϕ（x）=ϕ（-x）＞0．（11分）
故当xf（x）＞0时，ϕ（x）＞0．（12分）

解析