题目

已知函数f（x）=

ax2+x+a

ex

．
（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥

1

e2

恒成立，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意可得f′（x）=

(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex

(ex)2

=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

 …（2分）
故可得f′（0）=1-a，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，
而直线的斜率为-2，所以1-a=-2，解得a=3 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

=

-(ax+1-a)(x-1)

ex

，令f′（x）=0，
当a=0时，x=1，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，f（0）=0，f（2）=

2

e2

，
故函数f（x）的最小值为0，结论不成立．…（6分）
当a≠0时，x₁=1，x₂=1-

1

a

 …（7分）
若a＜0，f（0）=a＜0，结论不成立 …（9分）
若0＜a≤1，则≤0，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
只需

解析 相关题目 已知函数f（x）=ax2+x+aex．（Ⅰ 已知函数f（x）=1+tanx，若f（a）=3， 定义两种运算a⊕b=ab，a⊗b=a+b，则函 已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f 在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若 已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）= 设α∈{-1，1，2，312}，则使f(x 设a∈R，对于∀x＞0，函数f（x）=（ax-1 f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中， 下列说法正确的是（　　）A．函数f(x)= 闽ICP备2021017268号-8