函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n)

 &(n∈N，n≥1)
，求数列{an}的前2009项的和S2009；
（3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(

答案

（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数…（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）
∴f（2n）=2n…（8分）
∴an=2•（-1）nn，
∴S2009=-2010…（10分）
（3）设 0＜x＜1，则
1
x
＞1，0=f(1)=f(x)+f(
1
x
)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(

解析

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