题目

对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点；
（2）函数f（x）=ax³+（b-2）x²（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[-1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥-x²+4x-2恒成立？
（3）试写出函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）图象的对称性．

答案

（1）设A（m，n）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由