已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
答案
| （1）“f（x）=f1（x）对所有实数都成立”等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，即3|x-1|≤a•3|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log3a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）max=1，所以log3a≥1，a的取值范围是[3，+∞）．…（4分）
（2）由（1）可知，当a∈[3，+∞）时，f（x）=f1（x），f（0）=3，所以t=2，函数的对称轴为x=1，函数f（x）在[0，1]上单调递减；在[1，2]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，=．…（6分）
当f2（x）≤f1（x）恒成立时，即|x-1|-|x-2|≥log3a恒成立，（|x-1|-|x-2|）min=-1，所以log3a≤-1．
当a∈(0，]时，f（x）=f2（x）=a•3|x-2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在[0，2]上单调递减；在[2，4]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，=．…（8分）
当a∈(，3)时，解不等式3|x-1|≤a•3|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log3a，其中-1＜log3a＜1，解得x≤+log3a，
所以 f(x)= |
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