题目

已知函数f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得b=

3

2

．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=

2

3

+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f(x)-a2＞

2

3

恒成立，只需f(2)＞a2+

2

3

，----（12分）
即

2

3

+a＞a2+

2

3

，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）

解析