题目

已知函数f(x)=lg[ax-(

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2

)x]，（ a＞0，a≠1，a为常数）
（1）当a=2时，求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，判断函数g(x)=ax-(

1

2

)x在区间（0，+∞）上的单调性；
（3）当a＞1时，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a应满足的条件．

答案

(1).2x＞(

1

2

)x，即2x＞2-x⇒x＞-x，
∴x＞0．f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=ax1-(

1

2

)x1-ax2+(

1

2

)x2=(ax1-ax2)+(

1

2

)x2-(

1

2

)x1，
由于a＞1，有ax1＜ax2，(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴g(x)=ax-(

1

2

)x在其定义域上是增函数．（也可：由a＞1，知a^x递增，0.5^x递减，-（0.5）^x也递增，故g（x）递增）
（3）依题意，lg[ax-(

1

2

)x]＞0=lg1，即ax-(

1

2

)x＞1对x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1时，y=ax-(

1

2

)x在[1，+∞) 上递增，
∴f(1)=lg(a-

1

2

)＞0，得a-

1

2

＞1，∴a＞

3

2

．

解析