题目

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=

1

x+2

，有（　　）

A．g（x）∈Ω且h（x）∉Ω

B．g（x）∉Ω且h（x）∈Ω

C．g（x）∈Ω且h（x）∈Ω

D．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

答案

根据题意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=|

1

x1+2

-

1

x1+2

|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|

1

x1+2

| ∈[

1

3

，1]，|

1

x2+2

| ∈[

1

3

，1]
故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
综合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故选C

解析