题目

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（2x）＜0的解集为______．

答案

设g（x）=xf（2x），则g"（x）=[xf（2x）]"=x"f（2x）+2xf"（2x）=2xf′（2x）+f（2x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=xf（2x）是R上的偶函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（1）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（2x）＜0化为g（x）＜0，
∵对于偶函数g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式为g（|x|）＜g（1），
∵函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∴|x|＜1且x≠0，解得-1＜x＜1且x≠0，
故所求的解集为{x|-1＜x＜1且x≠0}．
故答案为：{x|-1＜x＜1且x≠0}．

解析