已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知定义域为R的函数f(x)=

2x-1
a+2x+1
是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵函数是奇函数，
∴f（1）+f（-1）=0，可得

1
a+4
+
-
1
2
a+1
=0，解之得a=2-----------（3分）
检验：a=2时，f(x)=
2x-1
2+2x+1
，
∴f(-x)=
2-x-1
2+2-x+1
=
2x(2-x-1)
2x(2+2-x+1)
=
1-2x
2x+1+2

∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．-----------（5分）
（2）证明：令t=2x，则y=
t-1
2+2t
=
1
2
•
t-1
t+1
=
1
2
(1-
2
t+1
)=
1
2
-
1
t+1

设x1∈R，x2∈R且x1＜x2
∵t=2x在R上是增函数，∴0＜t1＜t2
当0＜t1＜t2时，y1-y2=
1
2
-
1
t1+1
-(
1
2
-
1
t2+1
)=
1
t2+1
-
1
t1+1
=
t1-t2
(t1+1)(t2+1)

∵0＜t1＜t2
∴t1-t2＜0，t1+1＞0，t2+1＞0
∴y1＜y2，可得f（x）在R上是增函数---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函数
∴不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt2+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函数
∴对任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt2+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
化简整理得：mt2-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时，不等式即为2＞0恒成立，符合题意；
2°m≠0时，有

解析

相关题目