已知函数f（x）满足f(x)=ln1+x1-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）满足f(x)=ln

1+x
1-x
，
（1）求f（x）的定义域；判断f（x）的奇偶性及单调性并给予证明；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0．求实数m的取值范围．

答案

解（1）由

1+x
1-x
＞0得函数f（x）的定义域为（-1，1）…（2分）
∵f(-x)=ln
1-x
1+x
=ln(
1+x
1-x
)-1=-ln
1+x
1-x
=-f(x)，所以f（x）为奇函数…（4分）
任意x1，x2∈（-1，1），x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=ln(
1+x1
1+x2
×
1-x2
1-x1
)-------------（6分）
∵x1，x2∈（-1，1），x1＜x2，
∴0＜1+x1＜1+x2，0＜1-x2＜1-x1------------（7分）
∴0＜
1+x1
1+x2
×
1-x2
1-x1
＜1，
∴f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）为（-1，1）上的递增函数-------------------------------------------------------（9分）
（2）由（1）可知原不等式变形为f（1-m）＜f（m2-1），
又f（x）为（-1，1）上的递增函数，
∴原不等式满足-1＜1-m＜m2-1＜1，---------------------------------------（11分）
∴m取值范围是(1，

解析

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