题目

已知函数f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程f(x)=(

1

2

-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，有f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+

1

x

(x＞0)．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-(x+

1

x

)+3对x＞0恒成立，
而当x＞0时，-(x+

1

x

)+3≤-2+3=1．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-(x+

1

x

)+3对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）由f(x)=(

1

2

-a)x2+(a-2)x+2lnx=0，
得：(a-

1

2

)x2+(2-a)x=2lnx，
即：a=

lnx+x

x2

，令r（x）=

lnx+x

x2

，r′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

得1-x-2lnx=0的根为1，
所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，
当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，
又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，
所以要使y=

lnx+x

x2

与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1 …8分
（III）假设存在，不妨设0＜x₁＜x₂.k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 2 x 21 +(a-3)x1+lnx1- 1 2 x 22 -(a-3)x2-lnx2

x1-x2

=x0+(a-3)+

ln x1 x2

x1-x2

．（9分）
f/(x0)=x0+(a-3)+

1

x0

．
若k=f′（x₀），则

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 + 1

．（*）（12分）
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
则u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，满足条件的x₀不存在．（16分）

解析