已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f

难度：一般 题型：解答题 来源：江苏三模

题目

已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数g(x)=

答案

（1）因为f（x）≤f"（x），所以x2-2x+1≤2a（1-x），
又因为-2≤x≤-1，所以a≥
x2-2x+1
2(1-x)
在x∈[-2，-1]时恒成立，
因为
x2-2x+1
2(1-x)
=
1-x
2
≤
3
2
，所以a≥
3
2
．…（4分）
（2）因为f（x）=|f"（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）2-2|x+a|+1-a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． …（7分）
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以a＞b＞c或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．…（10分）
（3）因为f（x）-f"（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)=

解析

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