题目

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=

1

2

（2^x-2^-x），g（x）=

1

2

（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为

a

2

(2x-2 -x)+

1

2

(2 2x+2-2x)≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥-

22x+2-2x

2x-2-x

=-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

令t=2^x-2^-x，则t＞0
∴-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

=-(t+

2

t

)≤ -2

解析 相关题目 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g 已知周期为2的偶函数f（x）的区间[0，1] 若f（x）=ax2+x+c在[a，b]上是奇函数 已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R）， 定义在R上的奇函数f（x）在x∈[0，+∞）时 已知定义在（-1，1）上的函数f（x）=x-si 已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=a 若存在x0∈[0，2]，使x2+（1-a）x-a 已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在 若当x∈（1，3）时，不等式ax＜sinπ6 闽ICP备2021017268号-8