已知f(x)=a2x-12x+1(a∈R

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f(x)=

a2x-1
2x+1
(a∈R)，是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数；
（3）对任意的k∈（0，+∞）解不等式f-1(x)＞log2
1+x
k
．

答案

（1）由题知f（0）=0，得a=1，
此时f(x)+f(-x)=

2x-1
2x+1
+
2-x-1
2-x+1
=
2x-1
2x+1
+
1-2x
1+2x
=0，
即f（x）为奇函数．
（2）∵y=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，得2x=
1+y
1-y
(-1＜y＜1)，
∴f-1(x)=log2
1+x
1-x
(-1＜x＜1)．
（3）∵f-1(x)＞log2
1+x
k
，∴

解析

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