已知函数f(x)=-13x3+a2

难度：一般 题型：解答题 来源：广州模拟

题目

已知函数f(x)=-

1
3
x3+
a
2
x2-2x（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f"（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点(0，-
1
3
)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=3时，f(x)=-

1
3
x3+
3
2
x2-2x，得f"（x）=-x2+3x-2．…（1分）
因为f"（x）=-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f"（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f"（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由f(x)=-
1
3
x3+
a
2
x2-2x，得f"（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f"（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x2+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x2-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x2-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或

解析

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