题目

已知函数f（x）满足：f(1)=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=______．

答案

取x=1，y=0得f(0)=

1

2

法一：根据已知知f(1)=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-（

1

4

）
取x=2，y=1得f（3）=-（

1

2

）
取x=2，y=2得f（4）=-（

1

4

）
取x=3，y=2得f（5）=-（

7

16

）
取x=3，y=3得f（6）=（

1

2

）
猜想得周期为6
法二：取x=1，y=0得f(0)=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=

1

2

解析