题目

已知f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
所以f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（a^x₂-a^x₁）（1+a^{-（x₁+x₂）}）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a^{-（x₁+x₂）}＞0
①当a＞1时，a²-1＞0，a^x₂-a^x₁＞0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②当0＜a＜1时，a²-1＜0．，a^x₂-a^x₁＜0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为

1

a2-1

（

1

a

-a）=-

1

a

，
∴b≤-

1

a

．
求b的取值范围（-∞，-

1

a

]．

解析