对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若F(x)=mx+

答案

（1）f1（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数，
存在区间[1，2]使得f1（x）=1，在区间[1，2]外，f1（x）＞1，
f2（x）=x+|x-2|不是“平底型”函数，
∵在（-∞，0]上，f2（x）=2，在（-∞，0]外，f2（x）＞2，（-∞，0]不是闭区间．
（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立
即  f（x）≤|
t
k
-1|+|
t
k
+1|，
∵|
t
k
-1|+|
t
k
+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（3）∵F(x)=mx+

解析

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