已知函数f(x)=ln(2+3x)-32

难度：一般 题型：解答题 来源：焦作模拟

题目

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3
2
x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数x∈[
1
6
，
1
2
]，不等式|a-lnx|+ln[f"（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

答案

（I）f′(x)=

3
2+3x
-3x=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
，令f"（x）=0，得x=
1
3
或x=-1（舍）
当0≤x＜
1
3
时，f"（x）＞0，f（x）单调递增；当
1
3
＜x≤1时，f"（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(
1
3
)=ln3-
1
6
是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln
3
2+3x
对x∈[
1
6
，
1
2
]恒成立
若ln
3
2+3x
＞0即x∈[
1
6
，
1
3
 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f"（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln
3
2+3x
或a＜lnx+ln
3
2+3x

设h(x)=lnx-ln
3
2+3x
= ln
2x+3x2
3
；g(x)=lnx+ln
3
2+3x
= ln
3
2+3x

依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[
1
3
，
1
2
]恒成立
∵g′(x)=
2
x(2+3x)
＞0，h′(x)=
2+6x
2x+3x2
＞0
∴g（x），h（x）都在[
1
3
，
1
2
]上递增
∴a＞h(
1
2
)或a＜g(
1
3
)
即a＞ln
7
12
或a＜ln
1
3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0，
令ϕ(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b，则ϕ′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x

当x∈[0，

解析

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