题目

已知函数f（x）=

1

x

-ax，且f（1）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断它的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

答案

（1）∵f（1）=-1．
∴1-a=-1
∴a=2
∴f（x）=

1

x

-2x
∵f（-x）=

1

-x

-2× (-x)=-

1

x

+2x
∴f（-x）=-f（x）
所以函数是奇函数．

（2）设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-2x1-(

1

x2

-2x2)=

(x2-x1)(1+2x1x2)

x1x2

＞0
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

解析