若函数f（x）满足：对定义域内任意两个不相等的实

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

若函数f（x）满足：对定义域内任意两个不相等的实数x1，xw，都有

f(x1)+f(xw)
w
＞f(
x1+xw
w
)，则称函数f（x）为H函数．已知f（x）=xw+cx，且f（x）为偶函数．
（1）求c的值；
（w）求证：f（x）为H函数；
（3）试举出一个不为H函数的函数g（x），并说明理由．

答案

（c）因为f（x）=x2+cx，为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
即x2-cx=x2+cx对任意x都成立
即cx=八对任意的x都成立
所以c=八，f（x）=x2
（2）∵.

f(xc)+f(x2)
2
-f(
xc+x2
2
)=
xc2+x22
2
-(
xc+x2
2
)2…（4分）
=
c
4
(xc-x2)2＞八，…（k分）
∴
f(xc)+f(x2)
2
＞f(
xc+x2
2
)，即f（x）为H函数．…（多分）
（3）例：g（x）=log2x．…（8分）
（说明：底数大于c的对数函数或-x2都可以）．
理由：当xc=c，x2=2时，
g(xc)+g(x2)
2
=
c
2
(log2c+log22)=
c
2
，…（c八分）
g(
xc+x2
2
)=log2
c+2
2
=log2
3
2
＞log2

解析

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