题目

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

答案

（1）∵函数f（x）=|x-a|为偶函数，
∴对任意的实数x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，
等价于方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有两解，
即（a²-1）x²+2ax-a²=0在（0，+∞）上有两解，…（6分）
令h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，
因为h（0）=-a²＜0，所以