设f（logax）=a(x2-1)x(a2-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设f（logax）=

a(x2-1)
x(a2-1)
，(a＞0，a≠1)
求证：
（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3．

答案

证明：（1）令t=logax，则x=at，f（t）=

a
a2-1
(at-a-t)（t∈R），
∴f（x）=
a
a2-1
(ax-a-x)（x∈R），
设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=
a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)
(a2-1)ax1+x2
，
（1）当a＞1时，因为x10，ax1-ax2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）当0＜a＜1时，因为a2-1＜0，ax1-ax2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
∴x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），∴K=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，
故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）=
a
a2-1
(a3-a-3)=
a(a6-1)
a3(a2-1)
=
a4+a2+1
a2
=a2+
1
a2
+1≥2

解析

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