题目

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(1)=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，则不等式x²f（x）＞0的解集是______．

答案

由

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，即[

f(x)

x

]′＞0；
则

f(x)

x

在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有

f(1)

1

=f（1）=0；
故函数

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，则此时f（x）＜0，
同理，函数

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，则此时f（x）＞0，
故又由函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0
当x∈（-1，0）时，f（x）＞0；
而x²f（x）＞0⇔f（x）＞0，
故不等式x²f（x）＞0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

解析