题目

已知f（x）为偶函数，且x＞0时，f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0)．
（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）时函数f（x）的解析式．

答案

（本小题满分14分）
（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．…（1分）
证明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-

1

a

+

1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．…（3分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…（6分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，值域为[

1

2

，2]，．…（7分）
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，．…（9分）
即

解析 相关题目 已知f（x）为偶函数，且x＞0时，f(x)=1 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）= 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f 关于函数f（x）=lgx2+1|x|（x 已知函数f（x）=2x-2-x2x+2 设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个 已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）= 已知函数f（x）=x3+ax-8，若f（5）=7 定义在R上的函数f（x）是周期为6的奇函 函数f（x）=12x2-(a+b) 闽ICP备2021017268号-8