题目

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，若函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0和2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）试求函数f（x）的表达式；
（2）已知各项不为0的数列{a_n}满足4Sn•f(

1

an

)=1，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）设f(x)=

x2+a

bx-c

=x⇒（1-b）x²+cx+a=0有两个不等实根0和2
⇒a=0且2b-c=2且b≠1
⇒f（x）=

x2

(1+ c 2 )x-c

．
由f（-2）＜-

1

2

⇒-1＜c＜3
⇒c=2，b=2⇒f（x）=

x2

2x-2

（x≠1）．
（2）由已知4Sn•f(

1

an

)=1，
可得2S_n=a_n-a_n²，
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，
两式相减得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=-1．
当n=1时，a₁=-1，
由a_n=-a_n-1⇒a₂=1不在定义域范围内应舍去，
故a_n-a_n-1=-1⇒a_n=-n．

解析