题目

已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），又数列{a_n}中，a1=

1

3

，a2=

3

2

，a3=

2

3

，且a_n+3=a_n，n∈N^*，则有（　　）

A．f（a2010）＜f（a2009）＜f（a2011）	B．f（a2011）＜f（a2009）＜f（a2010）
C．f（a2010）＜f（a2011）＜f（a2009）	D．f（a2009）＜f（a2010）＜f（a2011）

答案

∵a_n+3=a_n，∴数列{a_n}为周期为3的周期数列，∴a₂₀₁₀=a_3×670=a3=

2

3

，a₂₀₀₉=a2=

3

2

，a₂₀₁₁=a1=

1

3

∴f（a₂₀₁₁）=f（

1

3

），f（a₂₀₀₉）=f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（

1

2

），f（a₂₀₁₀）=f（

2

3

）
∵f（x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于x=1对称，又∵当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），故函数f（x）的图象如图：


函数f（x）在（0，1）上为增函数，
∵

1

3

＜

1

2

＜

2

3

，∴f（

1

3

）＜f（

1

2

）＜f（

2

3

）
即f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）
故选 B

解析