函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当

难度：一般题型：解答题来源：不详 2023-11-03 16:30:02

题目

函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当x＞0时，求证：f(x)-1≥a(1-

)；
（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ）当a=

时，求证：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-

（ I）证明：设φ(x)=f(x)-1-a(1-

)=alnx-a(1-

)，(x＞0)
令φ′(x)=

=0，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞

x-1

lnx

，
令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx-

x-1

(lnx)2

令h(x)=lnx-

x-1

，h′(x)=

＞0，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g"（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知lnx≥1-

，则ln