函数f(x)=xx+1，数列{an}满足：

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

函数f(x)=

x
x+1
，数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
2
an
+1，对任意正整数n，不等式
kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn

答案

（Ⅰ）∵f（x）=
x
x+1
，∴an+1=
an
an+1
，∴
1
an+1
-
1
an
=1
∴数列{
1
an
}是首项
1
a1
=1，公差d=1的等差数列，
1
an
=1+（n-1）=n
∴an=
1
n
．
（Ⅱ）由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)

解析

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