已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[

难度：一般 题型：解答题 来源：陕西

题目

已知函数f（x）=

4x2-7
2-x
，x∈[0，1]，
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．

答案

（1）对函数f（x）=

4x2-7
2-x
，x∈[0，1]，求导，得
f′（x）=
-4x2+16x-7
(2-x)2
=-
(2x-1)(2x-7)
(2-x)2
，
令f′（x）=0解得x=
1
2
或x=
7
2
．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

魔方格

所以，当x∈（0，
1
2
）时，f（x）是减函数；当x∈（
1
2
，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x2-a2）．
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜5（1-a2）≤0，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，
即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，
任给x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），
则[1-2a-3a2，-2a]⊃[-4，-3]，即

解析

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