题目

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数f_i（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，f_i（x）是偶函数，且对任意的实数x，有f_i（x+π）=f_i（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f₁（x）+f₂（x）cosx+f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．

答案

证明：记g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．
令f1(x)=

g(x)+g(x+π)

2

，f2(x)=

解析 相关题目 设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2 若函数g（x）=x2+|x-m|为偶函数，则实数 出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=ln 设f(x)=loga1-mxx-1为奇函数 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′ 已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x 已知：函数f（x）=ax3+bx+6，且f（5） 定义在R上的偶函数f（x），f′（x）＜0在x∈ 函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单 已知函数y=f（x）的定义域为（4a-3，3-2 闽ICP备2021017268号-8