题目

已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）讨论方程解的个数，并说明理由。

答案

（1） ；（2）；（3）当时，方程无解；当时，方程有惟一解； 当时方程有两解。

解析

（1）因为： ，又在处的切线方程为

所以 解得： 
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。
，，所以方程有惟一解。
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，
因为当时，，所以
所以
因为 ，所以
所以 方程在区间上有惟一解。
所以方程在区间上有惟两解。
综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。