题目

已知
（1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围；
（2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x₁、x₂，求b的取值范围，并证明

答案

（1）b的取值范围为（2）

解析

（1）当时，的图象是开口向上对称轴为的抛物线，
∴的值域为，∴的值域也为的充要条件
是，
即b的取值范围为
（2），由分析知
不妨设
因为上是单调函数，所以在上至多有一个解.
若，即x₁、x_­2就是的解，，与题设矛盾.
因此，由，所以；
由所以
故当时，方程上有两个解.
由消去b，得 由