题目

已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，
① 方程有实数根；② 函数的导数满足．
（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，

答案

（Ⅰ）函数是集合中的元素.
（Ⅱ）方程有且只有一个实数根.
（Ⅲ）对于任意符合条件的,总有成立.

解析

试题分析：（Ⅰ）因为①当时，，
所以方程有实数根0；
②，
所以，满足条件；
由①②，函数是集合中的元素.  5分
（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，
则，.
不妨设，根据题意存在，
满足.
因为，，且，所以.
与已知矛盾.又有实数根，
所以方程有且只有一个实数根. 10分
（Ⅲ）当时，结论显然成立； 11分
当，不妨设.
因为,且所以为增函数，那么.
又因为，所以函数为减函数，
所以.
所以，即.
因为，所以， （1）
又因为，所以， （2）
（1）（2）得即.
所以.
综上，对于任意符合条件的,总有成立.  14分
点评：综合题，本题综合性较强，难度较大。证明方程只有一个实根，可通过构造函数，研究其单调性实现，本解法运用的是反证法。由自变量取值，且，确定函数值的关系，关键是如何实现两者的有机转换。