题目
设函数
，其中
，且a≠0.（Ⅰ）当a=2时，求函数
在区间[1，e]上的最小值；（Ⅱ）求函数
的单调区间。
答案
区间（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
解析
试题分析：（Ⅰ）由题意
。 1分令
。 2分当x变化时，
的变化情况如表：| x |
1 |
（1，2） |
2 |
（2，e） |
e |
 |
|
+ |
0 |
－ |
|
|
|
－1 |
↗ |
极大值 |
↘ |
2－e |
在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减。 4分因为
，所以当x=1时，
在区间[1，e]上有最小值－1。 5分（Ⅱ）函数
的定义域为（0，+∞）。 6分求导，得
。 7分当a＜0时，
由x＞0，得
。所以
在区间（0，+∞）上单调递减； 9分当a＞0时，
令
＝0，得x=a。 10分当x变化时，
与的变化情况如下表：| x |
（0，a） |
a |
（a，+∞） |
|
|
+ |
0 |
－ |
|
|
↗ |
极大值 |
↘ |
在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。综上，当a＜0时，函数
区间（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数
在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。 13分点评：函数的最值出现在闭区间的端点处或极值点处，因此只需求出端点处函数值极值后比较大小得最值，在求单调区间时要注意函数的定义域，第二问中因为定义域
，因此要对参数a分情况讨论