题目

已知函数（）．
（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；
（2）若，求方程在上解的个数．

答案

（1）．
（2）当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．
当时，<0，∴g(x)＝0在上无解．

解析

（1）然后分别研究时,恒成立且时,恒成立时b的取值范围即可.
(2) 构造函数，即
分别研究和上的单调性,极值和最值.做出草图，数形结合解决即可
（1）  …………………2分
①当时， ，．
由条件，得恒成立，即恒成立，∴．……………………4分
②当时，，．
由条件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2． 
综合①，②得b的取值范围是．……………6分
（2）令，即………………8分
当时，，．
∵，∴．则．
即，∴在（0，）上是递增函数．………………………10分
当时，，．
∴在（，＋∞）上是递增函数．
又因为函数在有意义，∴在（0，＋∞）上是递增函数．………12分
∵，而，∴，则．∵a≥2，
∴ ， ……14分
当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．
当时，<0，∴g(x)＝0在上无解